Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞1．
（1）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-m²）＜0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2]時(shí)，f（x）-4＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性．
（1）由函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次不等式組，求解不等式組得答案；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在x∈（-∞，2]上的最大值，然后求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答： 解：令g（x）=a^x-a^-x，
∵g（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，則f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)為奇函數(shù)，
設(shè)x₁＜x₂，可得
g（x₁）-g（x₂）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1•ax2

=（ax1-ax2）（1+

1

ax1•ax2

），
∵1+

1

ax1•ax2

＞0，當(dāng)a＞1時(shí)ax1-ax20，
∴當(dāng)a＞1時(shí)g（x₁）-g（x₂）＜0，函數(shù)g（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)g（x₁）-g（x₂）＞0，函數(shù)g（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)．
∴當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
綜上，函數(shù)數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
（1）x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-m²）＜0成立，
則f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）成立，
即

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得：1＜m＜

2

；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2]時(shí)，f（x）-4＜0恒成立，
即f（x）＜4恒成立，
∵函數(shù)數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，2]時(shí)，f(x)max=f(2)=

a

a2-1

(a2-a-2)，
則

a

a2-1

(a2-a-2)＜4，即

(a2-1)(a2-4a+1)

a(a2-1)

＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，得a（a²-4a+1）＜0，解得1＜a＜2+

3

；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，得a（a²-4a+1）＜0，解得2-

3

＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2-

3

，1)∪(1，2+

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了不等式的解法，是中檔題．