Question

【題目】若存在常數k（k∈N* ， k≥2）、q、d，使得無窮數列{an}滿足 則稱數列{an}為“段比差數列”，其中常數k、q、d分別叫做段長、段比、段差．設數列{bn}為“段比差數列”．
（1）若{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、q、3． ①當q=0時，求b2016；
②當q=1時，設{bn}的前3n項和為S3n ， 若不等式 對n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍；
（2）設{bn}為等比數列，且首項為b，試寫出所有滿足條件的{bn}，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①方法一：∵{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．

方法二：∵{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，

∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…

∴當n≥4時，{bn}是周期為3的周期數列．

∴b2016=b6=6．

②方法一：∵{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，

∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，

∴{b3n﹣1}是以b2=4為首項、6為公差的等差數列，

又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）= ，∵ ，∴ ，設 ，則λ≥（cn）max，

又 ，

當n=1時，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；當n≥2時，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，

∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，

∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．

方法二：∵{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，

∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首項為b3=7、公差為6的等差數列，

∴ ，

易知{bn}中刪掉{b3n}的項后按原來的順序構成一個首項為1公差為3的等差數列，∴ ，∴ ，

以下同方法一．

（2）解：方法一：設{bn}的段長、段比、段差分別為k、q、d，

則等比數列{bn}的公比為 ，由等比數列的通項公式有 ，

當m∈N*時，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，若q=1，則d=0，bn=b；

②若q≠1，則 ，則qkm為常數，則q=﹣1，k為偶數，d=﹣2b， ；

經檢驗，滿足條件的{bn}的通項公式為bn=b或 ．

方法二：設{bn}的段長、段比、段差分別為k、q、d，

①若k=2，則b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，

由 ，得b+d=bq；由 ，得（b+d）q2=（b+d）q+d，

聯(lián)立兩式，得 或 ，則bn=b或 ，經檢驗均合題意．

②若k≥3，則b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，

由 ，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，則bn=b，經檢驗適合題意．

綜上①②，滿足條件的{bn}的通項公式為bn=b或

【解析】（1）①方法一：由{bn}的首項、段長、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可； 方法二：根據{bn}的首項、段長、段比、段差，b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…bn}是周期為3的周期數列即可；
②方法一：由{bn}的首項、段長、段比、段差，b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，{b3n﹣1}是等差數列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1 ， 即可求S3n
方法二：由{bn}的首項、段長、段比、段差b3n+1=b3n ， ∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首項為b3=7、公差為6的等差數列即可，（2）方法一：設{bn}的段長、段比、段差分別為k、q、d，等比數列的通項公式有 ，
當m∈N*時，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，則d=0，bn=b；②若q≠1，則 ，則qkm為常數，則q=﹣1，k為偶數，d=﹣2b， ；方法二：設{bn}的段長、段比、段差分別為k、q、d，①若k=2，則b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由 ，得b+d=bq；由 ，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，則b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由 ，求得得d 即可．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的基本性質的相關知識點，需要掌握{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列才能正確解答此題．