【題目】已知橢圓()的右焦點為,離心率為.直線過點且不平行于坐標軸,有兩個交點,,線段的中點為.

1)求橢圓的方程;

2)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;

3)延長線段與橢圓交于點,若四邊形為平行四邊形,求此時直線的斜率.

【答案】1.(2)證明見解析.(3)直線的斜率:

【解析】

1)由題意知 ,可得,.故得到橢圓方程.

2)設直線的方程為(),將直線與橢圓進行聯(lián)立,利用中點坐標公式,結合韋達定理得到,進而得解.

(3)四邊形為平行四邊形,則.所以,

,又因為點在圓上,把點坐標代入橢圓方程,即可得出答案.

1)由已知,

,解得,

所以橢圓方程為.

2)設直線的方程為()

聯(lián)立消去

,不妨設,

,因為為線段的中點

所以,

所以

所以為定值.

3)若四邊形為平行四邊形,則

所以

因為點在橢圓上,所以

解得,即

所以當四邊形為平行四邊形時,直線的斜率為

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【題目】已知橢圓,圓心為坐標原點的單位圓OC的內部,且與C有且僅有兩個公共點,直線C只有一個公共點.

1)求C的標準方程;

2)設不垂直于坐標軸的動直線l過橢圓C的左焦點F,直線lC交于A,B兩點,且弦AB的中垂線交x軸于點P,試求的面積的最大值.

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【題目】已知橢圓C的左右焦點分別為F1F2,點在橢圓C上,滿足.

1)求橢圓C的標準方程;

2)直線l1過點P,且與橢圓只有一個公共點,直線l2l1的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點P的兩點M,N,與直線x=1交于點K(K介于M,N兩點之間).

①問:直線PMPN的斜率之和能否為定值,若能,求出定值并寫出詳細計算過程;若不能,請說明理由;

②求證:.

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【題目】用計算機生成隨機數(shù)表模擬預測未來三天降雨情況,規(guī)定1,23表示降雨,4,5,6,7,8,9表示不降雨,根據(jù)隨機生成的10組三位數(shù):654 439 565 918 288 674 374 968 224 337,則預計未來三天僅有一天降雨的概率為(

A.B.C.D.

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【題目】7屆世界軍人運動會于20191018日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項,共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,特招聘了3萬名志愿者.某部門為了了解志愿者的基本情況,調查了其中100名志愿者的年齡,得到了他們年齡的中位數(shù)為34歲,年齡在歲內的人數(shù)為15人,并根據(jù)調查結果畫出如所示的頻率分布直方圖:

1)求,的值并估算出志愿者的平均年齡(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

2)本次軍運會志愿者主要通過直接到武漢軍運會執(zhí)委會志愿者部現(xiàn)場報名和登錄第七屆世界軍運會官網報名,即現(xiàn)場和網絡兩種方式報名調查.這100位志愿者的報名方式部分數(shù)據(jù)如下表所示,完善下面的表格,通過計算說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為選擇哪種報名方式與性別有關系?

男性

女性

總計

現(xiàn)場報名

50

網絡報名

31

總計

50

參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖,四邊形是矩形,,,,分別為,上的一點,且,,將矩形卷成以,為母線的圓柱的半個側面,且,分別為圓柱的上、下底面的直徑.

1)求證:平面平面

2)求四棱錐的體積.

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【題目】如圖1,在直角梯形中,ABCD,且.現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,如圖2.

(Ⅰ)求證:BC⊥平面DBE

(Ⅱ)求點D到平面BEC的距離.

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【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離.

(1)求拋物線的方程;

(2)過點引圓的兩條切線,切線與拋物線的另一交點分別為,線段中點的橫坐標記為,求的取值范圍.

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【題目】某快遞網點收取快遞費用的標準是重量不超過的包裹收費10元,重量超過的包裹,除收費10元之外,超過的部分,每超出(不足,按計算)需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).

1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù);

2)該快遞網點負責人從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為工作人員的工資和網點的利潤,剩余的作為其他費用.已知該網點有工作人員3人,每人每天工資100元,以樣本估計總體,試估計該網點每天的利潤有多少元?

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