Question

6．如圖，拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為（0，1），圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為2的圓M與y軸相切．
（Ⅰ）求拋物線E及圓M的方程；
（Ⅱ）過P（2，0）作兩條相互垂直的直線，與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M相交于C，D兩點(diǎn)，N為線段CD的中點(diǎn)，當(dāng)${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，求AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為（0，1），圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為2的圓M與y軸相切，即可求拋物線E及圓M的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$⇒x²-4kx+8k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△=16{k^2}-32k＞0\\{x_A}+{x_B}=4k\\{x_A}•{x_B}=8k\end{array}\right.$，又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，可得k的范圍，利用${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，求出k，即可求AB所在的直線方程．

解答 解：（Ⅰ） 拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為（0，1），
∴p=2，∴拋物線E：x²=4y，…（3分）
∵圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為2的圓M與y軸相切，
∴圓M的方程：（x-2）²+（y-4）²=4；             …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k（k顯然存在且不為零）
立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$⇒x²-4kx+8k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△=16{k^2}-32k＞0\\{x_A}+{x_B}=4k\\{x_A}•{x_B}=8k\end{array}\right.$
又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，
則$-\frac{1}{k}∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，而16k²-32k＞0，故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜0$．…（8分）${S_{△NAB}}=\frac{1}{2}|AB|•|NP|=\frac{1}{2}|AB|•d$（其中d表示圓心M到直線AB的距離）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16{k^2}-32k}•\frac{4}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=8\sqrt{{k^2}-2k}$…（11分）
又${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，所以${k^2}-2k=\frac{5}{4}$，解得$k=-\frac{1}{2}$或$k=\frac{5}{2}$（舍）
所以AB所在的直線方程為：$y=-\frac{1}{2}（x-2）$即$y=-\frac{1}{2}x+1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線E及圓M的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．