Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的條件，判斷函數(shù)的周期，利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
即函數(shù)的周期是8，
且f（x+4）=-f（x）=f（-x），
則函數(shù)的對稱軸為

x+4-x

2

=2，
作出函數(shù)f（x）的 簡圖，
若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，
則四個根分別關(guān)于x=2和x=-6對稱，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁+x₂=-12，x₃+x₄=4，
則x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，
故答案為：-8

點(diǎn)評：本題主要考查方程根的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．