Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線？
（3）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，求2θ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算；
（2）求出k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出k；
（3）利用數(shù)量積公式計(jì)算cosθ，使用二倍角公式得出cos2θ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$=（1，2）-（-6，4）=（7，-2）．
（2）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k-3，2k+2），$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（7，-2）．
∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$共線，
∴-2（k-3）-7（2k+2）=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
（3）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-3+4=1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{65}}{65}$．
∴cos2θ=2cos²θ-1=-$\frac{63}{65}$，
∴2θ=arccos（-$\frac{63}{65}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．