Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax，若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，則a的取值范圍是（-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{1+ax}{x}$，
a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，f（1）=a≥0，
故存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）-1＞0，解得：a＞-$\frac{1}{e}$，
綜上，a的范圍是（-$\frac{1}{e}$，+∞），
故答案為：（-$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．