Question

18．某高校數(shù)學(xué)系2016年高等代數(shù)試題有6個(gè)題庫(kù)，其中3個(gè)是新題庫(kù)（即沒(méi)有用過(guò)的題庫(kù)），3個(gè)是舊題庫(kù)（即至少用過(guò)一次的題庫(kù)），每次期末考試任意選擇2個(gè)題庫(kù)里的試題考試．
（1）設(shè)2016年期末考試時(shí)選到的新題庫(kù)個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知2016年時(shí)用過(guò)的題庫(kù)都當(dāng)作舊題庫(kù)，求2017年期末考試時(shí)恰好到1個(gè)新題庫(kù)的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）設(shè)“從6個(gè)題庫(kù)中任意取出2個(gè)題庫(kù)，恰好取到一個(gè)新題庫(kù)”為事件B，則“2017年時(shí)恰好取到一個(gè)新題庫(kù)”就是事件A₀B，由此能求出2017年期末考試時(shí)恰好到1個(gè)新題庫(kù)的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，
設(shè)“2016年期末考試時(shí)取到i個(gè)新題庫(kù)（即ξ=i）”為事件A_i（i=0，1，2）．
又因?yàn)?個(gè)題庫(kù)中，其中3個(gè)是新題庫(kù)，3個(gè)是舊題庫(kù)，
所以$P（{A_0}）=P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$；$P（{A_1}）=P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{3}{5}$；$P（{A_2}）=P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為$E（ξ）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$．
（2）設(shè)“從6個(gè)題庫(kù)中任意取出2個(gè)題庫(kù)，恰好取到一個(gè)新題庫(kù)”為事件B，
則“2017年時(shí)恰好取到一個(gè)新題庫(kù)”就是事件A₀B+A₁B+A₂B，而事件A₀B，A₁B，A₂B互斥，
所以P（A₀B+A₁B+A₂B）=P（A₀B）+P（A₁B）+P（A₂B）
=$\frac{1}{5}×\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}+\frac{3}{5}×\frac{C_2^1C_4^1}{C_6^2}+\frac{1}{5}×\frac{C_5^1}{C_6^2}=\frac{38}{75}$．
所以2017年時(shí)恰好取到一個(gè)新題庫(kù)的概率為$\frac{38}{75}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．