Question

18．若函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，則稱f（x）為T函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①y=$\frac{1}{x}$； ②y=e^x；③y=1nx；④y=sinx．其中為T函數(shù)的序號是④．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 推導出f（0）=0；f（T）是常數(shù)．若f（T）＞0，則函數(shù)是增函數(shù)；若f（T）=0，則函數(shù)是周期函數(shù)；若f（T）＜0，則函數(shù)是減函數(shù)．由此能求出結果．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，
f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，
令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），∴f（0）=0；f（T）是常數(shù)．
若f（T）＞0，則函數(shù)是增函數(shù)；
若f（T）=0，則函數(shù)是周期函數(shù)；
若f（T）＜0，則函數(shù)是減函數(shù)；
在①中，y=$\frac{1}{x}$，x=0函數(shù)沒有意義，
在定義域內(nèi)，不是增函數(shù)、減函數(shù)、周期函數(shù)，故①不正確； 
在②中，y=e^x，f（0）=1≠0，故②不正確；
在③中，y=lnx，x=0函數(shù)沒有意義，函數(shù)是增函數(shù)，
但是從變化趨勢看不是線性關系，故③不正確；
在④中，y=sinx，f（0）=0，并且函數(shù)是周期函數(shù)，符合題意，故④正確．
故答案為：④．

點評 本題考查T函數(shù)的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．