Question

10．已知$\overrightarrow a$=（2cos$\frac{2π}{3}$，2sin$\frac{2π}{3}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積等于4．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，可得$|\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．進(jìn)而得出．

解答 解：$\overrightarrow a$=（2cos$\frac{2π}{3}$，2sin$\frac{2π}{3}$）=$（-1，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=0，$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$，
∴$|\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．
∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則△OAB的面積等于$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及其性質(zhì)、等腰直角三角形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．