Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點M是A₁B的中點，點N是B₁C的中點，連接MN

（Ⅰ）證明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA₁=，BC=2，求二面角A—A₁C—B的余弦值的大小

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；

解析試題分析：（Ⅰ）主要利用線線平行可證線面平行；（Ⅱ）通過作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角；當然也可建系利用空間向量來解；
試題解析：（Ⅰ）證明：連接AB₁，
∵四邊形A₁ABB₁是矩形，點M是A₁B的中點，
∴點M是AB₁的中點；∵點N是B₁C的中點，
∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC，
∴MN//平面ABC        6分
（Ⅱ）解 ：（方法一）如圖，作，交于點D，

由條件可知D是中點，連接BD，∵AB=1，AC=AA₁=，BC=2，
∴AB²＋AC²= BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁⊥AB，AA₁∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A₁C, ∴A₁C⊥平面ABD，∴∴為二面角A—A₁C—B的平面角，在， ， ，
在等腰中，為中點，， ∴中，，
中，，
∴二面角A——B的余弦值是    12分
（方法二） 三棱柱為直三棱柱，
∴，，，
， ∴，∴
如圖，建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A₁(0,0,)，
如圖，可取為平面的法向量，
設平面的法向量為，
則,，
則由又
，不妨取m=1，則，
可求得，      12分
考點：立體幾何線平行的證明、二面角的求解，考查學生的空間想象能力和空間向量的使用