Question

16．某中學高二年級開設五門大學選修課程，其中屬于數學學科的有兩門，分別是線性代數和微積分，其余三門分別為大學物理、商務英語以及文學寫作，年級要求每名學生只能選修其中一科，該校高二年級600名學生各科選課人數統(tǒng)計如下表：

選修課程	線性代數	微積分	大學物理	商務英語	文學寫作	合計
選課人數	180	x	120	y	60	600

其中選修數學學科的人數所占頻率為0.6．為了了解學生成績與選課情況之間的關系，用分層抽樣的方法從這600名學生中抽取10人進行分析．
（Ⅰ）從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數的概率；
（Ⅱ）從選出的10名學生中隨機抽取3人，記ξ為選修線性代數人數與選擇微積分人數差的絕對值．求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分層抽樣求出各個選修人數，利用互斥事件的概率求解從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數的概率；
（Ⅱ）從選出的10名學生中隨機抽取3人，記ξ為選修線性代數人數與選擇微積分人數差的絕對值．求出ξ的可能值，就是概率，即可得到隨機變量ξ的分布列和數學期望．

解答 解：因為選修數學學科人數所占總人數頻率為0.6，即$\frac{180+x}{600}=0.6$，可得：x=180，又x+180+120+60+y=600，所以y=60，則根據分層抽樣法：
抽取的10人中選修線性代數的人數為：10×$\frac{180}{600}$=3人；選修微積分的人數為：10×$\frac{180}{600}$=3人；選修大學物理的人數為：$10×\frac{120}{600}=2$人；選修商務英語的人數為：$10×\frac{60}{600}=1$人；選修文學寫作的人數為：$10×\frac{60}{600}=1$人；
（Ⅰ）現從10人中選3人共有${C}_{10}^{3}=120$種選法，且每種選法可能性都相同，令事件A：選中的3人至少兩人選修線性代數，事件B：選中的3人有兩人選修線性代數，事件C：選中的3人都選修線性代數，且B，C為互斥事件，P（A）=P（B）+P（C）=$\frac{{C}_{3}^{2}×{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$+$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{11}{60}$．
（Ⅱ）記X為3人中選修線性代數的代數，X的可能取值為0，1，2，3，記Y為3人中選修微積分的人數；Y的可能取值也為0，1，2，3，則隨機變量ξ=|X-Y|的可能取值為0，1，2，3；
P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}+\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{3}$；
P（ξ=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=0）+P（X=1，Y=2）+P（X=2，Y=1）
=2×$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}+2×\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=2）=P（X=0，Y=2）+P（X=2，Y=0）=2×$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=P（X=0，Y=3）+P（X=3，Y=0）=2×$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{60}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{60}$

所以Eξ=$\frac{1}{3}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{1}{5}×2+\frac{1}{60}×3=\frac{9}{10}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和對立事件概率計算公式的合理運用．