Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點為F（-1，0），左準(zhǔn)線為x=-2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l交橢圓C于A，B兩點．
①若直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AF}$$\overrightarrow{PB}=μ\overrightarrow{BF}$，求證：λ+μ為常數(shù)；
②若OA⊥OB（O為原點），求△AOB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的左焦點為F（-1，0），左準(zhǔn)線為x=-2，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）①設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則P（0，k），代入橢圓得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理、向量知識，結(jié)合已知條件能證明λ+μ為常數(shù)-4．
②當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時，△AOB的面積${S}_{△AOB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設(shè)OA：y=kx，OB：y=-$\frac{1}{k}x$，將y=kx代入橢圓C，得到x²+2k²x²=2，由此利用換元法結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點為F（-1，0），左準(zhǔn)線為x=-2，
∴由題設(shè)知c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，a²=2c，
∴a²=2，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
證明：（2）①由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則P（0，k），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l代入橢圓得x²+2k²（x+1）²=2，
整理，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{PB}=μ\overrightarrow{BF}$，知$λ=\frac{-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$，$μ=\frac{-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$，
∴λ+μ=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{1+{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}{1+\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{-4}{-1}=-4$（定值）．
∴λ+μ為常數(shù)-4．
解：②當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時，△AOB的面積${S}_{△AOB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設(shè)OA：y=kx，OB：y=-$\frac{1}{k}x$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=kx代入橢圓C，得到x²+2k²x²=2，
∴${{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，${{y}_{1}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
同理，${{x}_{2}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，${{y}_{2}}^{2}=\frac{2}{2+{k}^{2}}$，
△AOB的面積S_△AOB=$\frac{OA•OB}{2}$=$\sqrt{\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}}$，
令t=k²+1∈[1，+∞），則S_△AOB=$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}}$=$\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$，
令μ=$\frac{1}{t}$∈（0，1），則${S}_{△AOB}=\sqrt{\frac{1}{-{μ}^{2}+μ+2}}$=$\sqrt{\frac{1}{-（μ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
綜上所述，△AOB的面積的取值范圍是[$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓方程、韋達定理、向量知識、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．