Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4x-{x^2}，x≥0\\ \frac{3}{x}，x＜0\end{array}$，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-3x+b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)|f（x）-3x的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解即可．|

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4x-{x^2}，x≥0\\ \frac{3}{x}，x＜0\end{array}$，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-3x+b有三個(gè)零點(diǎn)，
就是h（x）=|f（x）|-3x與y=-b有3個(gè)交點(diǎn)，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，0≤x≤4}\\{{x}^{2}-7x，x＞4}\\{-\frac{3}{x}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
，
當(dāng)x＜0時(shí)，-$\frac{3}{x}-3x$≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)-b＞6，可得b＜-6；
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，x-x²≤$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)取得最大值，滿(mǎn)足條件的b∈（-$\frac{1}{4}$，0]．
綜上，b∈$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．
給答案為：$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．