Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n+2，S_n+1）在一次函數(shù)圖象y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)代入直線方程，求得S_n+1=4a_n+3，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+3，兩式相減即可求得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），即可求得數(shù)列{b_n}是與2為公比的等比數(shù)列，由a₁=1，即可求得b₁，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵將點(diǎn)（a_n+2，S_n+1）代入y=4x-5，即S_n+1=4（a_n+2）-5，
∴S_n+1=4a_n+3，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+3，
∴兩式相減a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）．
∴由b_n=a_n+1-2a_n，則$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=2，（n≥2）．
∴數(shù)列{b_n}是與2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=a₂-2a₁，
而a₂+a₁=4a₁+3，且a₁=1，
∴a₂=6，
∴b₁=a₂-2a₁=4，
∴b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n2ⁿ⁺¹，
數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n，
=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②得-T_n=2²+2³+2⁴+2⁵+…+n×2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²，
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺²，
=-4（1-2ⁿ）-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²，
數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．