Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點恰好使橢圓C的一個焦點．
（1）求橢圓C的方程
（2）過點D（0，3）作直線l與橢圓C交于A，B兩點，點N滿足$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求得a，b，得到橢圓方程，
（2）確定四邊形OANB為平行四邊形，則S_OANB=2S_△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又∵拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點（$\sqrt{3}，0）$恰好是橢圓C的一個焦點，
∴則c=$\sqrt{3}$，a=2，即有b=1，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）因為點N滿足$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O為原點），所以四邊形OANB為平行四邊形，
當(dāng)直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，
直線l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+24kx+32=0，
由△=24²k²-128（1+4k²）＞0，得k²＞2，
x₁+x₂=-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{32}{1+4{k}^{2}}$，由于S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|=$\frac{3}{2}$|x₁-x₂|，
則平行四邊形OANB的面積S'=2S_△OAB=3|x₁-x₂|=3$\sqrt{（{x}_{x}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$═3$\sqrt{（\frac{24k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{128}{1+4{k}^{2}}}=\frac{24\sqrt{{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$，
令k²-2=t，則k²=2+t，（t＞0），即有S'=$\frac{24\sqrt{t}}{1+4（2+t）}=\frac{24}{4\sqrt{t}+\frac{9}{\sqrt{t}}}$
當(dāng)且僅當(dāng)4$\sqrt{t}$=$\frac{9}{\sqrt{t}}$，t=$\frac{9}{4}$，即k²=$\frac{17}{4}$，$\frac{\sqrt{17}}{2}$，時，平行四邊形OANB面積的最大值為2，

此時直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{17}}{2}$x+3．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，面積的運算，轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于中檔題．