Question

20．已知F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，l₁，l₂為C的兩條漸近線，點A在l₁上，且FA⊥l₁，點B在l₂上，且FB∥l₁，若|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出|FA|，|FB|，利用|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，建立方程，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，F(xiàn)（c，0）
∴|FA|=$\frac{\frac{bc}{a}}{\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=b．
FB的方程為y=$\frac{a}$（x-c），與l₂：y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
∴|FB|=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}}$=$\frac{{c}^{2}}{2a}$，
∵|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，
∴b=$\frac{4}{5}$•$\frac{{c}^{2}}{2a}$，∴2c²=5ab，∴4c⁴=25a²（c²-a²），
∴4e⁴-25e²+25=0，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于中檔題．