Question

已知雙曲線C₁：(a>0)，拋物線C₂的頂點在原點O，C₂的焦點是C₁的左焦點F₁。
（1）求證：C₁，C₂總有兩個不同的交點；
（2）問：是否存在過C₂的焦點F₁的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與S_ΔAOB的最值，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（因為x₁≠0），所以C₁，C₂總有兩個不同交點。
（2）存在過F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a²

（1）由雙曲線方程得，所以F₁(,0)，拋物線焦點到準線的距離，拋物線：   ①
把①代入C₁方程得：        ②
Δ=64a²>0，所以方程②必有兩個不同實根，設(shè)為x₁,x₂,由韋達定理得x₁x₂=-a²<0，所以②必有一個負根設(shè)為x₁,把x₁代入①得y²=,所以（因為x₁≠0），所以C₁，C₂總有兩個不同交點。
（2）設(shè)過F₁(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y²+4may-12a²=0，因為Δ=48m²a²+48a²>0，設(shè)y₁,y₂分別為A，B的縱坐標，則y₁+y₂=,y₁y₂=-12a².所以(y₁-y₂)²=48a²(m²+1).所以S_ΔAOB=|y₁-y₂|•|OF₁|=a•a•，當且僅當m=0時，S_ΔAOB的面積取最小值；當m→+∞時，S_ΔAOB→+∞，無最大值。所以存在過F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a²。