Question

13．已知等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y²=2px（p＞0），O為拋物線的頂點，OA⊥OB，△AOB的面積為16，F(xiàn)為拋物線的焦點，N（-1，0），若M是拋物線上的動點，則$\frac{|MN|}{|MF|}$的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2\sqrt{2}-1}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2\sqrt{2}+1}$

Answer 1

分析 設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，進(jìn)而可求得AB=4p，從而可得S_△OAB．設(shè)過點N的直線方程為y=k（x+1），代入y²=4x，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，則|MF|=|MA|，考慮直線與拋物線相切及傾斜角為0°，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B關(guān)于x軸對稱．
∴直線OA的方程為：y=xtan45°=x，由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2p}\\{y=2p}\end{array}\right.$，
故AB=4p，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2p×4p=4p²．
∵△AOB的面積為16，∴p=2，
設(shè)過點N的直線方程為y=k（x+1），代入y²=4x可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴由△=（2k²-4）²-4k⁴=0，可得k=±1，此時直線的傾斜角為45°．
過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，則|MF|=|MA|，
∴$\frac{|MN|}{|MF|}$=$\frac{|MN|}{|MA|}$
∴直線的傾斜角為45°或135°時，$\frac{|MN|}{|MA|}$取得最大值$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，求得A，B關(guān)于x軸對稱是關(guān)鍵，考查拋物線的定義，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．