【題目】已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),若過的動直線與曲線相交于兩點

(1)說明曲線的形狀,并寫出其標準方程;

(2)是否存在與點不同的定點,使得恒成立?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由

【答案】(1)曲線是橢圓,它的標準方程為;(2)存在點滿足題意

【解析】

(1)先設動點坐標為,根據(jù)題意列出等式,化簡整理即可求出結果;

(2)分情況討論如下:當直線軸垂直時,易得點必在軸上.;當直線軸垂直時,易得點的坐標只可能是;再證明直線斜率存在且時均有即可.

(1)設動點坐標為

到直線的距離為.依題意可知

化簡得

所以曲線是橢圓,它的標準方程為

(2)①當直線軸垂直時,由橢圓的對稱性可知,又因為,則

從而點必在軸上.

②當直線軸垂直時,則,由①可設,

,解得(舍去),或

則點的坐標只可能是

下面只需證明直線斜率存在且時均有即可.

設直線的方程為,代入.

所以

設點關于軸對稱的點坐標

因為直線的斜率

同理得直線的斜率

,三點共線.

.

所以存在點滿足題意.

練習冊系列答案
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分數(shù)

頻數(shù)

頻率

8

0.08

18

0.18

20

0.2

0.24

15

10

0.10

5

0.05

合計

1

(1)計算表格中,,的值;

(2)為了了解成績在,分數(shù)段學生的情況,先決定利用分層抽樣的方法從這兩個分數(shù)段中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人進行面談,求2人來自不同分數(shù)段的概率.

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