Question

15．將二項式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^n}$的展開式按x的降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有（　�。�

• A． 3個
• B． 4個
• C． 5個
• D． 6個

Answer 1

分析 寫出展開式的通項，利用前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求出n，進而可求展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)．

解答 解：展開式的通項為T_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴前三項的系數(shù)分別是1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∵前三項系數(shù)成等差數(shù)列
∴2•$\frac{1}{2}$n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1）
∴n=8，
∴當n=8時，T_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴r=0，4，8，展開式中x的指數(shù)是整數(shù)
故選：A．

點評 本題考查二項展開式，考查等差數(shù)列的運用，考查展開式的特殊項，確定n是關(guān)鍵．