Question

6．對于函數(shù)y=f（x），若x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的一階不動點(diǎn)，若x₀滿足f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的二階不動點(diǎn)，
（1）設(shè)f（x）=2x+3，求f（x）的二階不動點(diǎn)．
（2）若f（x）是定義在區(qū)間D上的增函數(shù)，且x₀為函數(shù)f（x）的二階不動點(diǎn)，求證：x₀也必是函數(shù)f（x）的一階不動點(diǎn)；
（3）設(shè)f（x）=e^x+x+a，a∈R，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點(diǎn)x₀，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）=2x+3，則f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函數(shù)f（x）=2x+3的二階不動點(diǎn)．
（2）由題意f[f（x₀]=x₀，記f（x₀）=t，則f（t）=x₀，若t＜x₀，與假設(shè)t＜x₀相矛盾；若t＞x₀，與假設(shè)t＞x₀相矛盾；從而f（x₀）=x₀，由此能證明x₀也必是函數(shù)f（x）的一階不動點(diǎn)．
（3）函數(shù)f（x）=e^x+x+a在R上單調(diào)遞增，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點(diǎn)x₀，則f（x）在[0，1]上也必存在一階不動點(diǎn)x₀；推導(dǎo)出方程e^x+x+a=x在[0，1]上有解，由此能出a的取值范圍．

解答 解：（1）若f（x）=2x+3，則f[f（x）]=2（2x+3）+3=4x+9，…（1分）
由f[f（x）]=x，得4x+9=x，解得x=-3，…（2分）
∴函數(shù)f（x）=2x+3的二階不動點(diǎn)為x=-3，…（3分）
證明：（2）∵x₀是函數(shù)f（x）的二階不動點(diǎn)，
∴f[f（x₀]=x₀，…（4分）
記f（x₀）=t，則f（t）=x₀，
若t＜x₀，則由f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，
有f（t）＜f（x₀），即x₀＜t，這與假設(shè)t＜x₀相矛盾；…（5分）
若t＞x₀，則由f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，
有f（t）＞f（x₀），即x₀＞t，這與假設(shè)t＞x₀相矛盾；…（6分）
∴t=x₀，即f（x₀）=x₀，
∴x₀是函數(shù)f（x）的一階不動點(diǎn)，命題得證；   …（7分）
解：（3）函數(shù)f（x）=e^x+x+a在R上單調(diào)遞增，
則由（2）可知，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點(diǎn)x₀，
則f（x）在[0，1]上也必存在一階不動點(diǎn)x₀；
反之，若f（x）在[0，1]上存在一階不動點(diǎn)x₀，即f（x₀）=x₀，
那么f[f（x₀]=f（x₀）=x₀，故f（x）在[0，1]上也存在二階不動點(diǎn)x₀．…（8分）
所以函數(shù)f（x）在[0，1]上存在二階不動點(diǎn)x₀等價(jià)于f（x）=x在[0，1]上有解，…（9分）
即方程e^x+x+a=x在[0，1]上有解，…（10分）
∴a=-e^x在[0，1]上有解，…（11分）
由x∈[0，1]可得e^x∈[1，e]，∴-e^x∈[-e，-1]，
∴a的取值范圍是[-e，-1]．      …（12分）

點(diǎn)評 本題考查二階不動點(diǎn)的求法，考查x₀也必是函數(shù)f（x）的一階不動點(diǎn)的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．