Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（x∈R，a≠0）．
（Ⅰ）若a=-1，c=0，且y=f（x）在[-1，3]上的最大值為g（b），求g（b）；
（Ⅱ）若a＞0，函數(shù)f（x）在[-8，-2]上不單調(diào)，且它的圖象與x軸相切，求$\frac{b-2a}{f（0）}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=-1，c=0時(shí)，f（x）對稱軸是直線x=b，由此進(jìn)行分類討論經(jīng)，能求出y=f（x）在[-1，3]上的最大值g（b）．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象和x軸相切，知$c=\frac{b^2}{a}$，從而得到對稱軸$x=-\frac{2b}{2a}=-\frac{a}∈（-8，-2）$，由此能求出$\frac{b-2a}{f（0）}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，c=0時(shí)，f（x）=-x²+2bx=-（x-b）²+b²，
∴對稱軸是直線x=b，
①b＜-1時(shí)，f（x）_max=f（-1）=-1-2b
②當(dāng)-1≤b≤3時(shí)，$f{（x）_{max}}=f（b）={b^2}$
③當(dāng)b＞3時(shí)，f（x）_max=f（3）=-9+6b
綜上所述，$g（b）=\left\{\begin{array}{l}-1-2b，（b＜-1）\\{b^2}，（-1≤b≤3）\\-9+6b，（b＞3）\end{array}\right.$； …6分
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的圖象和x軸相切，
∴△=4b²-4ac=0，∴$c=\frac{b^2}{a}$
∵f（x）在[-8，-2]上不單調(diào)，
∴對稱軸$x=-\frac{2b}{2a}=-\frac{a}∈（-8，-2）$
∴$\frac{a}∈（2，8）$∴$\frac{a}∈（\frac{1}{8}，\frac{1}{2}）$$\frac{b-2a}{f（0）}=\frac{b-2a}{c}=\frac{b-2a}{{\frac{b^2}{4a}}}=\frac{a}-2{（\frac{a}）^2}$
設(shè)$t=\frac{a}∈（\frac{1}{8}，\frac{1}{2}）$，則$\frac{b-2a}{f（0）}=-2{t^2}+t=-2{（t-\frac{1}{4}）^2}+\frac{1}{8}$，
∴$\frac{b-2a}{f（0）}$的最大值是$\frac{1}{8}$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查代數(shù)式的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．