Question

6．設函數(shù)f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，則：
（1）證明：f（x）+f（1-x）=1；
（2）計算：f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{3}{2016}}$）+…+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（${\frac{2015}{2016}}$）．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{2}{{2+{4^x}}}$，由此能證明f（x）+f（1-x）=1．
（2）令S=$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）$ ①，則S=f（${\frac{2015}{2016}}$）+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（$\frac{2013}{2016}$）+…+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{1}{2016}}$）②，①+②，由此能求出結果．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{{{4^{1-x}}}}{{{4^{1-x}}+2}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$
=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}+\frac{2}{{2+{4^x}}}$=1
（2）解：令S=$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2015}{2016}}）$   ①
則S=$f（{\frac{2015}{2016}}）+f（{\frac{2014}{2016}}）+f（{\frac{2013}{2016}}）+…+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{1}{2016}}）$    ②
兩式相加，由（1）得，2S=2015，S=$\frac{2015}{2}$．
∴f（${\frac{1}{2016}}$）+f（${\frac{2}{2016}}$）+f（${\frac{3}{2016}}$）+…+f（${\frac{2014}{2016}}$）+f（${\frac{2015}{2016}}$）=$\frac{2015}{2}$．

點評 本題考查等式成立的證明，考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用，是中檔題．