Question

已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是冪函數(shù)，且當x∈（-∞，0）時為減函數(shù)，
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）奇偶性并說明理由．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義建立方程關系即可求實數(shù)m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）奇偶性．

解答： 解：（1）由于y=(m2-m-1)xm2-2m-3為冪函數(shù)，
所以m²-m-1=1，解得m=2，或m=-1，
當m=2時，m²-2m-3=-3，y=x^-3，當時x∈（-∞，0）為減函數(shù)，滿足題意；
當m=-1時，m²-2m-3=0，y=x⁰=1（x≠0）在x∈（-∞，0）為常函數(shù)，不合題意，舍去．
綜上，m=2．
（2）由（1）知f（x）=x^-3，其定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
且滿足f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
所以函數(shù)f（x）=x^-3是奇函數(shù)．

點評：本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質，以及函數(shù)奇偶性的判斷，利用定義法是解決本題的關鍵．