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18.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為22,其左、右焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=72PF1PF2=34,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,過點(diǎn)S(0,-13)的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)設(shè)P(x0,y0),由|OP|=72,PF1PF2=34,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(2)假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn).當(dāng)AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y2=1,當(dāng)AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y+132=169,從而求出定點(diǎn)M(0,1). 再證明以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(0,1).由此得到在y軸上存在定點(diǎn)M(0,1),使以AB為直徑的圓恒過M(0,1)這個定點(diǎn).

解答 解:(1)設(shè)P(x0,y0),∵|OP|=72,∴x02+y02=74,①
PF1PF2=34,∴(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)=34,即x02c2+y02=34,②
①代入②得:c=1.又e=22,∴a=2,b=1,
故所求橢圓方程為x22+y2=1.…(5分)
(2)假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn).
當(dāng)AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y2=1,…③
當(dāng)AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y+132=169,…④
由③,④知定點(diǎn)M(0,1).   …(7分)
下證:以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(0,1).
設(shè)直線l:y=kx-13,代入x22+y2=1,有(2k2+1)x2-43kx169=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k32k2+1,x1x2=1692k2+1.…(10分)
MA=x1y11MB=x2y21,
MAMB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+kx143kx243
=(1+k2)x1x2-43kx1+x2+169
=(1+k2)•1692k2+1-43k4k32k2+1+169=0,
∴在y軸上存在定點(diǎn)M(0,1),使以AB為直徑的圓恒過M(0,1)這個定點(diǎn).…(12分)

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與證明,考查橢圓、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)與直線OA(O為原點(diǎn))平行的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn).
使 OMON=32,若存在,求直線l的方程,不存在說明理由.

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