分析 (1)設(shè)P(x0,y0),由|OP|=√72,→PF1•→PF2=34,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(2)假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn).當(dāng)AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y2=1,當(dāng)AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+(y+13)2=169,從而求出定點(diǎn)M(0,1). 再證明以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(0,1).由此得到在y軸上存在定點(diǎn)M(0,1),使以AB為直徑的圓恒過M(0,1)這個定點(diǎn).
解答 解:(1)設(shè)P(x0,y0),∵|OP|=√72,∴x02+y02=74,①
又→PF1•→PF2=34,∴(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)=34,即x02−c2+y02=34,②
①代入②得:c=1.又e=√22,∴a=√2,b=1,
故所求橢圓方程為x22+y2=1.…(5分)
(2)假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn).
當(dāng)AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+y2=1,…③
當(dāng)AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x2+(y+13)2=169,…④
由③,④知定點(diǎn)M(0,1). …(7分)
下證:以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M(0,1).
設(shè)直線l:y=kx-13,代入x22+y2=1,有(2k2+1)x2-43kx−169=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k3(2k2+1),x1x2=−169(2k2+1).…(10分)
則→MA=(x1,y1−1),→MB=(x2,y2−1),
→MA•→MB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1−43)(kx2−43)
=(1+k2)x1x2-43k(x1+x2)+169
=(1+k2)•−169(2k2+1)-43k•4k3(2k2+1)+169=0,
∴在y軸上存在定點(diǎn)M(0,1),使以AB為直徑的圓恒過M(0,1)這個定點(diǎn).…(12分)
點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與證明,考查橢圓、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 0.16 | B. | 0.34 | C. | 0.68 | D. | 0.84 |
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A. | (-∞,-8) | B. | (-∞,-8] | C. | (-∞,-6) | D. | (-∞,-6] |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 9 | B. | 8 | C. | 7 | D. | 6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 輸入一個實數(shù)x,求它的絕對值 | |
B. | 求面積為6的正方形的周長 | |
C. | 求三個數(shù)a、b、c中的最大數(shù) | |
D. | 求函數(shù)f(x)={−x−1,x<−1x+1,x≥−1的值 |
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