Question

17．設(shè)點P，Q分別是曲線y=xe^-2x和直線y=x+2上的動點，則P，Q兩點間的距離的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 對曲線y=xe^-2x進行求導(dǎo)，求出點P的坐標，分析知道，過點P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點P，從而求出P點坐標，根據(jù)點到直線的距離進行求解即可．

解答 解：點P是曲線y=xe^-2x上的任意一點，
和直線y=x+2上的動點Q，
求P，Q兩點間的距離的最小值，
就是求出曲線y=xe^-2x上與直線y=x+2平行的切線與直線y=x+2之間的距離．
由y′=（1-2x）e^-2x 令y′=（1-2x）e^-2x =1，解得x=0，
當x=0，y=0時，點P（0，0），
P，Q兩點間的距離的最小值
即為點P（0，0）到直線y=x+2的距離d_min=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考�？嫉闹�識點，此題是一道中檔題．