Question

4．某工廠生產一種產品的成本費共由三部分組成：①原材料費每件50元；②職工工資支出7500+20x元；③電力與機器保養(yǎng)等費用為 x²-30x+600元（其中x為產品件數(shù)）．
（1）把每件產品的成本費P（x）（元）表示成產品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產品的最低成本費；
（2）如果該產品是供不應求的商品，根據市場調查，每件產品的銷售價為 Q（x）=1240-$\frac{1}{30}{x^2}$，試問當產量處于什么范圍時，工廠處于生產潛力提升狀態(tài)（生產潛力提升狀態(tài)是指如果產量再增加，則獲得的總利潤也將隨之增大）？

Answer 1

分析 （1）根據每件產品的成本費P（x）等于三部分成本和，建立函數(shù)關系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）設總利潤為y元，根據總利潤=總銷售額-總的成本求出總利潤函數(shù)，利用函數(shù)與導數(shù)知識方法求解．

解答 解：（1）P（x）=50+$\frac{7500+20x}{x}$+$\frac{{x}^{2}-30x+600}{x}$=$\frac{8100}{x}$+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2$\sqrt{\frac{8100}{x}•x}$+40=220．當且僅當$\frac{8100}{x}$=x，即x=90時，等號成立．
所以P（x）=$\frac{8100}{x}$+x+40．每件產品的最低成本費為220 元．
（2）設總利潤為y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-$\frac{1}{30}{x}^{3}-{x}^{2}+1200x-8100$，
f′（x）=-$\frac{1}{10}$（x-100）（x+120）
當f′（x）＞0時，0＜x＜100，
所以當產量處于{x|x∈N^*，且1≤x＜100}時，工廠處于生產潛力提升狀態(tài)．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，以及函數(shù)與導數(shù)知識方法，同時考查了建模的能力，屬于中檔題．