Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（ax²+x+1），且a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極大值．

解答： 解：∵f（x）=e^x（ax²+x+1），∴f′（x）=ae^x（x+

1

a

）（x+2）（3分）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上單增，此時(shí)無極大值；    （5分）
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，則x＞-2或x＜-

1

a

，f′（x）＜0，則-

1

a

＜x＜-2
∴f（x）在（-∞，-

1

a

）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，-2）上單調(diào)遞減．…（8分）
此時(shí)極大值為f（-

1

a

）=e-

1

a

     （9分）
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，則x＜-2或x＞-

1

a

，f′（x）＜0，則-2＜x＜-

1

a

∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，-

1

a

）上單調(diào)遞減．…（11分）
此時(shí)極大值為f（-2）=e^-2（4a-1）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．