Question

20．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）≤x-1對?x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系分類討論即可

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時，f（x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+lnx，（x＞0），
f'（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{（x-2）（x+1）}{2x}$，
①當(dāng)0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＞2時，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），
則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），
∴g′（x）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
①當(dāng)a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，
所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，x=$\frac{1}{2a}$≤1，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，x=$\frac{1}{2a}$＞1，
則f（x）在[1，$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)遞減，[$\frac{1}{2a}$，+∞）單調(diào)遞增，
則存在$\frac{1}{a}$∈[$\frac{1}{2a}$，+∞），
有g(shù)（$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$-1）²+ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+1=-lna+a-1＞0，
所以不成立，
綜上得：a≤0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于難題．