Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，對(duì)任意有恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）設(shè),若，問是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在上的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不存在,理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義域?yàn)?/span>R且為奇函數(shù)可知, 代入即可求得實(shí)數(shù)的值.

（2）由（1）可得函數(shù)的解析式,并判斷出單調(diào)性.根據(jù)將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,結(jié)合時(shí)不等式恒成立,即可求得實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）先用表示函數(shù).根據(jù)求得的解析式,根據(jù)單調(diào)性利用換元法求得的值域.結(jié)合對(duì)數(shù)的定義域,即可求得的取值范圍.根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷在的取值范圍內(nèi)能否取到最大值0.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R,且為奇函數(shù)

所以,即

解得

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí),

因?yàn)?/span>,即

解不等式可得

所以在R上單調(diào)遞減,且

所以不等式可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減

所不等式可化為

即不等式在恒成立

所以恒成立

化簡(jiǎn)可得

由打勾函數(shù)的圖像可知,當(dāng)時(shí),

所以

（3）不存在實(shí)數(shù).理由如下:

因?yàn)?/span>

代入可得,解得或(舍)

則,

令,易知在R上為單調(diào)遞增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí), ,

則

根據(jù)對(duì)數(shù)定義域的要求,所以滿足在上恒成立

即在上恒成立

令,

所以,即

又因?yàn)?/span>

所以

對(duì)于二次函數(shù),開口向上,對(duì)稱軸為

因?yàn)?/span>

所以

所以對(duì)稱軸一直位于的左側(cè),即二次函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

所以,

假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù),則:

當(dāng)時(shí), 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知為減函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

當(dāng)時(shí), 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知為增函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

綜上所述,不存在實(shí)數(shù)滿足條件成立.