Question

10．數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\sqrt{3}$與a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]與{a_n}分別表示a_n的整數(shù)部分與分數(shù)部分），則a₂₀₁₇=（　�。�

• A． $3021+\sqrt{3}$
• B． $3024+\sqrt{3}$
• C． $3021+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $3024+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Answer 1

分析 通過寫出前幾項，尋找他們之間的規(guī)律，歸納得出結論．

解答 解：a₁=$\sqrt{3}$，
a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$），
a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=3+$\sqrt{3}$=a₁+3，
a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=a₂+3，
a₅=5+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=a₃+3=a₁+6，
…
∴a₂₀₁₇=a₂₀₁₅+3=a₂₀₁₃+6=…=a₁+3×（$\frac{2017-1}{2}$）=3024+$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．