【題目】已知拋物線 )的焦點是橢圓 )的右焦點,且兩曲線有公共點

1)求橢圓的方程;

2)橢圓的左、右頂點分別為, ,若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于, 兩點,已知直線相較于點,試判斷點是否在一定直線上?若在,請求出定直線的方程;若不在,請說明理由.

【答案】(1) (2) 在定直線

【解析】試題分析:(1)由條件易得: ,從而得到橢圓的方程;

(2)先由特殊位置定出,猜想點在直線上,由條件可得直線的斜率存在, 設(shè)直線,聯(lián)立方程,消得: 有兩個不等的實根,利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化條件即可.

試題解析:

(1)將代入拋物線

∴拋物線的焦點為,則橢圓,

又點在橢圓上,

, 解得,

橢圓的方程為

(2)方法一

當(dāng)點為橢圓的上頂點時,直線的方程為,此時點, ,則直線和直線,聯(lián)立,解得,

當(dāng)點為橢圓的下頂點時,由對稱性知: .

猜想點在直線上,證明如下:

由條件可得直線的斜率存在, 設(shè)直線,

聯(lián)立方程,

得: 有兩個不等的實根,

,

設(shè),則

則直線與直線

聯(lián)立兩直線方程得(其中點橫坐標(biāo))

代入上述方程中可得,

,

即證

代入上式可得

,此式成立

∴點在定直線上.

方法二

由條件可得直線的斜率存在, 設(shè)直線

聯(lián)立方程

得: 有兩個不等的實根,

,

設(shè),則,

,

, 三點共線,有:

, 三點共線,有:

上兩式相比得

,

解得

∴點在定直線上.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本(萬元),若年產(chǎn)量不足千件, 的圖像是如圖的拋物線,此時的解集為,且的最小值是,若年產(chǎn)量不小于千件, ,每千件商品售價為50萬元,通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完;

(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;

(2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年底,我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)8年位居世界首位,下表是我國2012年至2018年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).

總計

年代代碼

1

2

3

4

5

6

7

28

申請量(萬件)

65

82

92

110

133

138

154

774

65

164

276

440

665

828

1078

3516

注:年代代碼1~7分別表示2012~2018.

1)可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中那一年的增長率達(dá)到最高,最高是多少?

2)建立關(guān)于的回歸直線方程(精確到0.01),并預(yù)測我國發(fā)明專利申請量突破200萬件的年份.

參考公式:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近來天氣變化無常,陡然升溫、降溫幅度大于的天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多.陡然降溫幅度大于容易引起幼兒傷風(fēng)感冒疾病.為了解傷風(fēng)感冒疾病是否與性別有關(guān),在某婦幼保健院隨機對人院的名幼兒進(jìn)行調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表,若在全部名幼兒中隨機抽取人,抽到患傷風(fēng)感冒疾病的幼兒的概率為,

(1)請將下面的列聯(lián)表補充完整;

患傷風(fēng)感冒疾病

不患傷風(fēng)感冒疾病

合計

25

20

合計

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過的情況下認(rèn)為患傷風(fēng)感冒疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;

(3)已知在患傷風(fēng)感冒疾病的名女性幼兒中,名又患黃痘病.現(xiàn)在從患傷風(fēng)感冒疾病的名女性中,選出名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患黃痘病的女性人數(shù)為,的分布列以及數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表供參考:

參考公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線和曲線,以極點為坐標(biāo)原點,極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點是曲線上一動點,過點作線段的垂線交曲線于點,求線段長度的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為邊長為2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,點F為棱PD的中點.

(1)在棱AB上是否存在一點E,使得AF∥面PCE,并說明理由;

(2)當(dāng)二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線PB與平面ABCD所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某茶樓有四類茶飲,假設(shè)為顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,經(jīng)統(tǒng)計以往為100位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時間,結(jié)果如下:

類別

鐵觀音

龍井

金駿眉

大紅袍

顧客數(shù)(人)

20

30

40

10

時間(分鐘/人)

2

3

4

6

注:服務(wù)員在準(zhǔn)備泡茶工具時的間隔時間忽略不計,并將頻率視為概率.

1)求服務(wù)員恰好在第6分種開始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率;

2)用表示至第4分鐘末已準(zhǔn)備好了工具的顧客人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙.從外觀上看,是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱;六根等長的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來.如圖所示,正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長為1,將這個魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi),則該球形容器半徑的最小值為(容器壁的厚度忽略不計)(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù);.

(1)判斷上的單調(diào)性,并說明理由;

(2)求的極值;

(3)當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍.

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