Question

16．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，D為AC中點，AE⊥BD于點E，延長AE交BC于點F，沿BD將△ABC折成四面體A-BCD．
（1）若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面AEF；
（2）若cos∠AEF=$\frac{1}{3}$，求點D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明F是BM的中點，可得DM∥EF，利用線面平行的判定定理證明直線DM∥平面AEF；
（2）由（1）可知點D到平面ABC的距離是E到平面ABC的距離的2倍，即E到AF的距離的2倍．

解答 （1）證明：∵△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，D為AC中點，
AE⊥BD于點E，延長AE交BC于點F，
∴E是BD的中點，BC=$\sqrt{3}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵M(jìn)是FC的中點，∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴F是BM的中點，
∴DM∥EF，
∵DM?平面AEF，EF?平面AEF
∴直線DM∥平面AEF；
（2）解：由（1）可知點D到平面ABC的距離是E到平面ABC的距離的2倍，
即E到AF的距離的2倍．
△AEF中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，AF=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{36}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由等面積可得E到AF的距離=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{2\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{9}{48}$
∴點D到平面ABC的距離為$\frac{9}{24}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．