Question

7．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個不相等的實數(shù)p，q，若不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [15，+∞）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，15]
• D． （-∞，6]

Answer 1

分析 由不等式進行轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的導數(shù)，利用參數(shù)分離法 進行求解即可．

解答 解：因為p≠q，不妨設(shè)p＞q，由于$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞1$，
所以f（p+1）-f（q+1）＞p-q，得[f（p+1）-（p+1）]-[f（q+1）-（q+1）]＞0，
因為p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）-（x+1）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，
所以g'（x）＞0在（0，1）內(nèi)恒成立，即$\frac{a}{x+2}-（2x+3）＞0$恒成立，
所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，
因為x∈（0，1）時（2x+3）（x+2）＜15，
所以實數(shù)a的取值范圍為[15，+∞）．
故選：A．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)不等式進行轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合參數(shù)分離法進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．