Question

12．已知函數f（x）=|x+1|+|2x-4|．
（Ⅰ）解關于x的不等式f（x）＜9；
（Ⅱ）若直線y=m與函數y=f（x）的圖象圍成一個三角形，求實數m的取值范圍，并求圍成的三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論以去掉絕對值號，即可解關于x的不等式f（x）＜9；
（Ⅱ）作出函數的圖象，結合圖象求解．

解答 解：（Ⅰ）x≤-1，不等式可化為-x-1-2x+4＜9，
x＞-2，∴-2＜x≤-1；
-1＜x＜2，不等式可化為x+1-2x+4＜9，∴x＞-4，∴-1＜x＜2；
x≥2，不等式可化為x+1+2x-4＜9，∴x＜4，∴2≤x＜4；
綜上所述，不等式的解集為{x|-2＜x＜4}；
（Ⅱ）f（x）=|x+1|+2|x-2|，
由題意作圖如下，
，
結合圖象可知，A（3，6），B（-1，6），C（2，3）；
故3＜m≤6，
且m=6時面積最大為$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

點評 本題考查了絕對值函數的應用及數形結合的思想方法應用，屬于中檔題．