Question

17．已知數列，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹
（1）求證：數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數列；
（2）設數列b_n=$\frac{n+2}{（n+1）{a}_{n}}$，求證b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，則$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，則數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為公差等差數列；
（2）由（1）可知：a_n=n•2ⁿ，則b_n=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，采用“裂項法”即可求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1．

解答 證明：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，則$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為公差等差數列；
（2）由（1）可知：數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，1為公差等差數列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，則a_n=n•2ⁿ，
b_n=$\frac{n+2}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{2（n+1）-n}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，
b₁+b₂+b₃+…+b_n=（$\frac{1}{1•{2}^{0}}$-$\frac{1}{2•{2}^{1}}$）+（$\frac{1}{2•{2}^{1}}$-$\frac{1}{3•{2}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$）
=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1．

點評 本題考查等差數列證明，等差數列前n項和公式，“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．