Question

11．已知點O（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的內(nèi)切圓上的一動點，設(shè)u=|PO|²+|PA|²+|PB|²，求u的最大值及相應(yīng)的P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 方法一：利用三角形的面積相等，求得圓心與半徑，即可求得圓方程，設(shè)P（1+cosθ，1+sinθ），由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得u的最大值及相應(yīng)的P點坐標(biāo)．
方法二：由題意可得內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，可得3x²+3y²-6x-6y+3=0，整體代入|PA|²+|PB|²+|PO|²=-2y+22，由函數(shù)的思想可得最值．

解答 解：方法一：設(shè)△OAB內(nèi)切圓的圓心為（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面積可得$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB內(nèi)切圓的圓心為（1，1），半徑為1，
∴△OAB內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1；
設(shè)P（1+cosθ，1+sinθ），
則u=（1+cosθ）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ-3）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ）²+（1+sinθ-4）²…（6分）
即u=20-2sinθ，θ∈R…（8分）
故當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-1時，u_max=22…（10分）
∴u_max=22，相應(yīng)的點為P（1，0）…（12分）
方法二：設(shè)△OAB內(nèi)切圓的圓心為（a，a）
∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），
∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，
由等面積可得$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$（3+4+5）a，解得a=1
∴△OAB內(nèi)切圓的圓心為（1，1），半徑為1，
∴△OAB內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1；
∵點P是△ABO內(nèi)切圓上一點，設(shè)P（x，y）
則（x-1）²+（y-1）²=1，
∴x²+y²-2x-2y+1=0，
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0，
∴u=|PA|²+|PB|²+|PO|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²，
=3x²+3y²-6x-8y+25=3x²+3y²-6x-6y+3-2y+22=-2y+22
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2y+22，（0≤y≤2），
∴y=0時上式取最大值22，

點評 本題考查三角形內(nèi)切圓的求法，圓的參數(shù)方程，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．