Question

13．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
（1）根據(jù)已知條件完成上面的2×2列聯(lián)表，若按95%的可靠性要求，并據(jù)此資料，你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X分布列，期望E（X）和方差D（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的頻率分布直方圖得出數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，再代入公式計算得出K²，與3.841比較即可得出結(jié)論；
（2）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是為$\frac{1}{4}$．由于X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而給出分布列，再由公式計算出期望與方差即可

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$=$\frac{100}{33}≈3.030$．
因為3.030＜3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．
（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為$\frac{1}{4}$．
由題意X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

$E（X）=np=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，D（X）=np（1-p）=$3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的運用及期望與方差的求法，頻率分布直方圖的性質(zhì)，涉及到的知識點較多，有一定的綜合性，難度不大，是高考中的易考題型．