Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-k-x，（x∈R）
（1）當(dāng)k=0時(shí)，若函數(shù)f（x）≥m在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）試判斷當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（k，2k）內(nèi)是否存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（k），f（2k）的值，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令h（k）=e^k-2k，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≤1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
（2）當(dāng)k＞1時(shí)，f（x）=e^x-k-x，f'（x）=e^x-k-1＞0在（k，2k）上恒成立．
∴f（x）在（k，2k）上單調(diào)遞增，
又f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k，
令h（k）=e^k-2k，
∵h(yuǎn)'（k）=e^k-2＞0，∴h（k）在k＞1時(shí)單調(diào)遞增，
∴h（k）＞e-2＞0，即f（2k）＞0，
∴由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)f（x）在（k，2k）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的恒成立和零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、最值，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．