Question

19．已知在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，如圖，動點P是在以O(shè)點為圓心，OB為半徑的扇形內(nèi)運動（含邊界）且∠BOC=90°；設(shè)$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則x+y的取值范圍[-2，1]．

Answer 1

分析 以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
表示出點A、B的坐標，得出$\overrightarrow{OP}$的坐標表示，從而求出x，y滿足的約束條件，
再利用線性規(guī)劃的方法求出目標函數(shù)z=x+y的最值即可得出結(jié)果．

解答 解：以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示；

則A（1，0），B（0，2），
∴$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（0，2y）=（x，2y），
則x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤0}\\{0≤y≤1}\\{{x}^{2}{+4y}^{2}≤4}\end{array}\right.$，
作出可行域如圖所示，
令z=x+y，化目標函數(shù)為y=-x+z，
由圖可知，當直線y=-x+z過點（0，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值1；
當直線y=-x+z過點（-2，0）時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值-2；
則x+y的取值范圍是[-2，1]．
故答案為：[-2，1]．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法和轉(zhuǎn)化思想，是綜合性題目．