Question

19．給出下列結(jié)論：
①設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則α⊥β是a⊥b的必要不充分條件．
②在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之間的概率為$\frac{1}{3}$
③從以正方體的頂點(diǎn)連線所成的直線中任取兩條，則所取兩條直線為異面直線的概率為$\frac{29}{63}$
④將4個(gè)相同的紅球和4個(gè)相同的籃球排成一排，從左到右每個(gè)球依次對(duì)應(yīng)的序號(hào)為1，2，3，…，8，若同色球之間不加區(qū)分，則4個(gè)紅球?qū)��?yīng)的序號(hào)之和小于4個(gè)藍(lán)球?qū)��?yīng)的序號(hào)之和的排列方法種數(shù)為31．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判斷①；由于函數(shù)cos$\frac{πx}{2}$是一個(gè)偶函數(shù)，故可研究出cos$\frac{πx}{2}$πx的值介于0到0$\frac{1}{2}$之間對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，再將其代入幾何概型計(jì)算公式求解概率判斷②；意，首先由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，可以確定28條直線，再由組合數(shù)公式可得一共可以得到有C₂₈²組直線，進(jìn)而分類討論其中直線異面的情況，可得異面直線的組數(shù)，由等可能事件的概率公式，計(jì)算概率判斷③；根據(jù)題意，假設(shè)有8個(gè)位置來(lái)安排8個(gè)球，其序號(hào)分別為1、2、3、…8，在8個(gè)位置中取出4個(gè)，安排紅球，剩余的安排藍(lán)球，由組合數(shù)公式計(jì)算可得紅球與藍(lán)球的安排方法數(shù)目，在所有的安排方法中，有3種情況：紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和等于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目；紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和小于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目；紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和大于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目，而紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和小于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目與紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和大于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目相等，只需用列舉求出紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和等于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目，由三者的關(guān)系計(jì)算判斷④．

解答 解：對(duì)于①，∵b⊥m，∴當(dāng)α⊥β，則由面面垂直的性質(zhì)可得a⊥b成立，若a⊥b，則α⊥β不一定成立，∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由于函數(shù)cos$\frac{πx}{2}$是一個(gè)偶函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之間的概率在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，
即x∈[0，1]時(shí)，要使cos$\frac{π}{2}$x的值介于0到$\frac{1}{2}$之間，需使$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{2}$πx≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2}{3}$≤x≤1，區(qū)間長(zhǎng)度為$\frac{1}{3}$，故②正確；
對(duì)于③，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，有C₈²=28種取法，即可以確定28條直線，從這28條直線中，任取2條，有C₂₈²種取法，即可以確定C₂₈²組直線，
其中異面的情況有：棱與棱異面：每條棱有4條棱與其異面，共有情況$\frac{1}{2}$×12×4=24組；棱與面對(duì)角線異面：每條棱有6條面對(duì)角線與其異面，共有情況12×6=72組；棱與體對(duì)角線異面：每條棱有2條體對(duì)角線與其異面，共有情況12×2=24組；面對(duì)角線與面對(duì)角線異面：每條面對(duì)角線與5條面對(duì)角線異面，共有情況$\frac{1}{2}$×12×5=30組；面對(duì)角線與體對(duì)角線異面：每條面對(duì)角線與2條體對(duì)角線異面，共有情況12×2=24組，則異面直線的組數(shù)為24+72+24+30+24=174組，
所取的2條成一對(duì)異面直線的概率為$\frac{174}{{C}_{28}^{2}}$=$\frac{29}{63}$，故③正確；
對(duì)于④，根據(jù)題意，假設(shè)有8個(gè)位置來(lái)安排8個(gè)球，其序號(hào)分別為1、2、3、…8，在8個(gè)位置中取出4個(gè)，安排紅球，剩余的安排藍(lán)球，有C₈⁴=70種方法，
其中4個(gè)紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和等于4個(gè)藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排法有：紅球占3、4、5、6四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占1、2、7、8四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占1、3、6、8四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占2、4、5、7四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占1、4、5、8四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占2、3、6、7四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占2、3、5、8四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置；紅球占1、4、6、7四個(gè)位置，藍(lán)球占剩余的四個(gè)位置，共8種情況，在剩余的62種情況中，紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和小于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目與紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和大于藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法數(shù)目相等，則4個(gè)紅球?qū)��?yīng)序號(hào)之和小于4個(gè)藍(lán)球?qū)��?yīng)序號(hào)之和的排列方法種數(shù)為62÷2=31種，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了古典概型與幾何概型概率計(jì)算公式，是中檔題．