【題目】如圖,將矩形沿折成二面角,其中為的中點.已知,,,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)取的中點,連接,,由矩形性質(zhì)及中位線定理可證明,,即四邊形是平行四邊形,即可由線面平行判斷定理證明平面;
(2)解法一:取的中點,的中點,連接,,,利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)和判定,可證明即為與平面所成角,結(jié)合所給線段關系,即可求解;解法二,以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,以垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標系,根據(jù)所給線段關系可求得的坐標,進而求得平面的法向量,即可由線面夾角的空間向量法求解.
(1)證明:取的中點,連接,,如下圖所示:
為矩形,且為的中點,
所以,,
又因為,
所以,,
所以四邊形是平行四邊形,
因此.
又平面,平面,
所以平面.
(2)解法一:取的中點,的中點,連接,,,如下圖所示:
由,所以,
又,,所以平面,
所以,又,
已知與相交,所以平面,
所以平面平面.
又,所以平面,所以,
又,,
所以平面.
所以即為與平面所成角,
又,,所以
所以.
解法二:以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,以垂直于平面的直線為軸,建立如下圖所示的空間直角坐標系:
則,,,,設,
由即
得所以,,,,,
設平面的法向量,由得
取,
設與平面所成角為,
則
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+2x﹣1.
(1)求f(x)的極值;
(2)若對任意的x>1,都有f(x)﹣k(x﹣1)>0(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】居民消費價格指數(shù),簡稱CPI,是一個反映居民消費價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟指標.某年的,以下是年居民消費價格指數(shù)的柱形圖.
從圖中可知下列說法正確的是( )
A.年居民消費價格總體呈增長趨勢
B.這十年中有些年份居民消費價格增長率超過3%
C.2009年的居民消費價格出現(xiàn)負增長
D.2011年的居民消費價格最高
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【題目】已知數(shù)列的前項和,數(shù)列滿足.
(1)證明:是等比數(shù)列,并求;
(2)若數(shù)列中去掉與數(shù)列中相同的項后,余下的項按原順序排列成數(shù)列,求的值.
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【題目】新中國昂首闊步地走進2019年,迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復興之路一新中國70周年知識問答”活動,規(guī)則如下:共有30道單選題,每題4個選項中只有一個正確,每答對一題獲得5顆紅星,每答錯一題反扣2顆紅星;若放棄此題,則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品,紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強參加該活動,其中有些題目會做,有些題目可以排除若干錯誤選項,其余的題目則完全不會.
(1)請問:對于完全不會的題目,小強應該隨機從4個選項中選一個作答,還是選擇放棄?(利用統(tǒng)計知識說明理由)
(2)若小強有12道題目會做,剩下的題目中,可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問:小強在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少?
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【題目】2020年春季,某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車,現(xiàn)有兩款車型,根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下:
使用壽命年數(shù) | 5年 | 6年 | 7年 | 8年 | 總計 |
型出租車(輛) | 10 | 20 | 45 | 25 | 100 |
型出租車(輛) | 15 | 35 | 40 | 10 | 100 |
(1)填寫下表,并判斷是否有的把握認為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關?
使用壽命不高于年 | 使用壽命不低于年 | 總計 | |
型 | |||
型 | |||
總計 |
(2)司機師傅小李準備在一輛開了年的型車和一輛開了年的型車中選擇,為了盡最大可能實現(xiàn)年內(nèi)(含年)不換車,試通過計算說明,他應如何選擇.
附:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】在平面直角坐標系中,點,直線與動直線的交點為,線段的中垂線與動直線的交點為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過動點作曲線的兩條切線,切點分別為, ,求證: 的大小為定值.
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【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具,即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名,起源于南北朝時期,其中的“紙”指的是宣紙,宣紙“始于唐代,產(chǎn)于涇縣”,而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄,故因地而得名“宣紙”,宣紙按質(zhì)量等級,可分為正牌和副牌(優(yōu)等品和合格品),某公司年產(chǎn)宣紙10000刀,公司按照某種質(zhì)量標準值x給宣紙確定質(zhì)量等級,如表所示:
x | (48,52] | (44,48]∪(52,56] | (0,44]∪(56,100] |
質(zhì)量等級 | 正牌 | 副牌 | 廢品 |
公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機抽取了一刀(100張)進行檢驗,得到頻率分布直方圖如圖所示,已知每張正牌紙的利潤是10元,副牌紙的利潤是5元,廢品虧損10元.
(Ⅰ)按正牌、副牌、廢品進行分層抽樣,從這一刀(100張)紙中抽出一個容量為5的樣本,再從這個樣本中隨機抽出兩張,求其中無廢品的概率;
(Ⅱ)試估計該公司生產(chǎn)宣紙的年利潤(單位:萬元).
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