Question

【題目】新中國(guó)昂首闊步地走進(jìn)2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺(tái)組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國(guó)70周年知識(shí)問答”活動(dòng)，規(guī)則如下：共有30道單選題，每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確，每答對(duì)一題獲得5顆紅星，每答錯(cuò)一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數(shù)越多獎(jiǎng)品等級(jí)越高.小強(qiáng)參加該活動(dòng)，其中有些題目會(huì)做，有些題目可以排除若干錯(cuò)誤選項(xiàng)，其余的題目則完全不會(huì).

（1）請(qǐng)問：對(duì)于完全不會(huì)的題目，小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)說明理由）

（2）若小強(qiáng)有12道題目會(huì)做，剩下的題目中，可以排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)、可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)和完全不會(huì)的題目的數(shù)量比是.請(qǐng)問：小強(qiáng)在本次活動(dòng)中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？

Answer 1

【答案】（1）選擇放棄作答；（2）72

【解析】

（1）對(duì)于任一道完全不會(huì)的題目，若選擇放棄，則獲得的紅星數(shù)為0，若選擇作答，設(shè)小明從四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答獲得的紅星數(shù)為ξ，ξ取5，-2，列出其分布列，求出期望即可；

（2）依題意，分別求出可以排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)、可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)的每道題目的可獲得紅星數(shù)的期望，由（1）知完全不會(huì)的題目可選擇放棄，再求每類題目數(shù)與該類題目每道題的期望的乘積，最終求和即可得到結(jié)果.

（1）對(duì)于任一道完全不會(huì)的題目，若選擇放棄，則獲得的紅星數(shù)為0；

若選擇作答，設(shè)小明從四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答獲得的紅星數(shù)為ξ，其分布列為：

ξ	5
P

所以，故應(yīng)該選擇放棄作答；

（2）由題意知，可以排除一個(gè)選項(xiàng)的題目有道，

設(shè)這9道題目中每道題小明從四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答獲得的紅星數(shù)為X，其分布列為：

X	5
P

所以：；

可以排除兩個(gè)選項(xiàng)的題目有道，

設(shè)這6道題目中每道題小明從四個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答獲得的紅星數(shù)為Y，其分布列為：

Y	5
P

；

完全不會(huì)的題目有道，

由（1）知應(yīng)選擇放棄，這3道題中每道題得到的紅星數(shù)的期望為0．

因此，小明在本次活動(dòng)中可以獲得的最多紅星數(shù)的期望是：

．