Question

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（）相切于點(diǎn)M。

⑴求橢圓T與圓O的方程；
⑵過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）。
①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
②若，求與的方程。

Answer 1

（1）橢圓的方程為與圓的方程為；（2）①；②的方程為，的方程為或的方程為，的方程為．

解析試題分析：（1）圓的圓心在原點(diǎn)，又過點(diǎn)為，方程易求，而橢圓過點(diǎn)，這實(shí)質(zhì)是橢圓短軸的頂點(diǎn)，因此，又離心率，故也易求得，其標(biāo)準(zhǔn)方程易得．（2）①看到點(diǎn)到直線的距離，可能立即想到點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)然如果這樣做的話，就需要求出直線方程，過程相對(duì)較難，考慮到直線，由所作的兩條垂線，與直線圍成一個(gè)矩形，從而，我們只要設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，再由點(diǎn)在橢圓上，可把表示為或的函數(shù)，從而求出最大值．②這題考查同學(xué)們的計(jì)算能力，設(shè)直線的斜率為，得直線方程，與圓方程和橢圓方程分別聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，同樣求出的坐標(biāo)，再利用已知條件求出，得到直線的方程．
試題解析：(1)由題意知: 解得可知:
橢圓的方程為與圓的方程           4分
(2)①設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/a/1tikw3.png" style="vertical-align:middle;" />⊥,則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/8/1zajp3.png" style="vertical-align:middle;" />
所以,           7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/0/17cpw3.png" style="vertical-align:middle;" />  所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)    9分
②設(shè)的方程為,由解得；
由解得          11分
把中的置換成可得，      12分
所以，
，
由得解得        15分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，