Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2b_n-2，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得出a_n．利用“當(dāng)n=1，b₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1”和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n；
（Ⅱ）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T_n，該數(shù)列T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6為遞增數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn){a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
當(dāng)n=1，b₁=2b₁-2，則b₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)b₁=2．
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ））∵c_n=a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2（2²+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2+2×$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
∵該數(shù)列T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6為遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，有最小值為2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．