Question

討論函數(shù)f（x）=

ax

1-x2

（-1＜x＜1，a∈R）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，在（-1，1）上任意取值，再作差、變形，然后，根據(jù)式子的特點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論判斷符號(hào)、下結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，1）是減函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-1，1）上不具有單調(diào)性．
證明如下：
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x1）-f（x2）=

ax1

1-x12

-

ax2

1-x22

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x22-1)(x12-1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x12-1＜0，x22-1＜0
∴

(x1 x2+1)(x2-x1)

(x22-1)(x12-1)

＞0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是減函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法，關(guān)鍵是變形，直到能明顯的判斷出符號(hào)為止，本題屬于中檔題，注意分類(lèi)討論思想在解題中的靈活運(yùn)用．