Question

20．因發(fā)生交通事故，一輛貨車上的某種液體潰漏到一池塘中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議，現(xiàn)決定在池塘中投放一種與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a•f（x），其中f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}-1（{0≤x≤4}）}\\{5-\frac{1}{2}x（{4＜x≤10}）}\end{array}}$．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？
（2）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a=4，得y=a•f（x），即$y\left\{{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（{0≤x≤4}）}\\{20-2x（{4＜x≤10}）}\end{array}}\right.$，；令y≥4，解得x的取值范圍．
（2）要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，即當(dāng)6≤x≤10時(shí)，$y=2•（{5-\frac{x}{2}}）+a（{\frac{16}{{8-（{x-6}）}}-1}）=10-x+\frac{16a}{14-x}-a=（{14-x}）+\frac{16a}{14-x}-a-4$≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閍=4，
所以$y\left\{{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（{0≤x≤4}）}\\{20-2x（{4＜x≤10}）}\end{array}}\right.$，
①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
由$\frac{64}{8-x}-4≥4$，解得x≥0，
所以此時(shí)0≤x≤4．
②當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
由20-2x≥4，解得x≤8，
所以此時(shí)4＜x≤8．
綜合得，0≤x≤8，即一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．
（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，
$y=2•（{5-\frac{x}{2}}）+a（{\frac{16}{{8-（{x-6}）}}-1}）=10-x+\frac{16a}{14-x}-a=（{14-x}）+\frac{16a}{14-x}-a-4$，
由題意知，y≥4對(duì)于x∈[6，10]恒成立．
因?yàn)?4-x∈[4，8]，
所以$4\sqrt{a}∈[{4，8}]$，
故當(dāng)且僅當(dāng)$14-x=4\sqrt{a}$時(shí)，
y有最小值為$8\sqrt{a}-a-4$，
令$8\sqrt{a}-a-4≥4$，
解得$24-16\sqrt{2}≤a≤4$，
所以a的最小值為$24-16\sqrt{2}$．
又$24-16\sqrt{2}≈1.6$，
所以a的最小值約為1.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)分區(qū)間考慮函數(shù)的解析式，是易錯(cuò)題．