Question

11．當a（a＞0）取何值時，直線x+y-2a+1=0與圓x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0 相切，相離，相交？

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心和半徑，根據(jù)點到直線距離公式求出圓心到直線的距離，由直線與圓相交、相切、相離的條件列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得，x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0，即（x-a）²+（y+1）²=a
圓的半徑為$\sqrt{a}$、圓心坐標是（a，-1），
∴圓心（a，-1）到直線x+y-2a+1=0距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$，
∵直線x+y-2a+1=0與圓x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相交，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{a}$，解得0＜a＜2；
∵直線x+y-2a+1=0與圓x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相切，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{a}$，解得a=2；
∵直線x+y-2a+1=0與圓x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相離，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＞$\sqrt{a}$，解得a＞2．

點評 本題考查直線和圓的位置關系的判斷方法：幾何法，及點到直線的距離公式的應用，考查化簡、計算能力．