Question

16．已知向量$\overrightarrow a，\;\overrightarrow b，\;\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow a=（{1，\;2}）$．
（1）若$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，且向量$\overrightarrow c$與向量$\overrightarrow a$反向，求$\overrightarrow c$的坐標(biāo)；
（2）若$|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的射影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，求出模長|$\overrightarrow{c}$|得出向量$\overrightarrow{c}$；
（2）由平面向量的數(shù)量積求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，根據(jù)射影的定義寫出|$\overrightarrow{a}$|cosθ即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），
設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，向量$\overrightarrow c$與向量$\overrightarrow a$反向，
則$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），λ＜0；
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+（2λ）}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得λ=-2，
∴$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；…（6分）
（2）由|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，及$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴2×（1²+2²）+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$=$\frac{15}{4}$，
解得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{4}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及射影的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．